谁说数学枯燥无味？数学中，蕴含着许多欢乐而深刻的数学定理。这些充满生命力的数学定理不仅受到数学家的喜爱，也在数学爱好者中广为流传。

▼

醉鸟

1. 醉汉总能找到回家的路，但醉鸟可能永远回不到家。

假设有一条水平直线，从某一位置出发，每次有50%的概率向左走1米，有50%的概率向右走1米。如果我们一直这样随机行走下去，最后回到起点的概率是多少？答案是100%。在一维随机游走过程中，只要时间足够长，最后总能回到起点。

现在考虑一个醉汉在街上随机行走。假设整个城市的街道呈网格状分布。醉汉每次走到十字路口时，都会以相等的概率选择一条路（包括他来时的那条路）继续行走。那么他最终回到起点的概率是多少？答案依然是 100%。一开始，醉汉可能会走得越来越远，但最终他总会找到回家的路。

然而醉鸟就没有那么幸运了。如果一只鸟每次飞行时都以相等的概率从上、下、左、右、前、后选择一个方向，那么它很可能永远也回不到起点了。事实上，在三维网格中随机游走，回到起点的概率只有 34% 左右。

这个定理是著名数学家波利亚在1921年证明的，随着维度的增加，回到起点的概率越来越低，在四维网格中，回到起点的概率是19.3%，而在八维空间中，这个概率只有7.3%。

▼

你在这里

2、如果你把一张当地地图平铺在地面上，你总能在地图上找到一个点，而这个点下方地面上的点留学之路，恰恰就是它在地图上所代表的位置。

也就是说，如果地板上画有整个商场的地图，您总是可以在地图上准确地做上“您在这里”的标记。

1912年，荷兰数学家布劳威尔（）证明了这样一个定理：设D是圆盘上的点集，f是从D到自身的连续函数，则必定存在一个点x使得f(x)=x。也就是说，如果连续移动圆盘上的所有点，总有一个点可以回到移动前的位置。这个定理被称为布劳威尔不动点定理。

除了上面的“地图定理”，布劳威尔不动点定理还有许多其他奇妙的推论。如果你拿两张同样大小的纸，把其中一张揉皱，放在另一张纸上，根据布劳威尔不动点定理火腿三明治定理，球上一定有一个点，位于下面那张纸上同一点的正上方。

这个定理也可以推广到三维空间中：当你把咖啡搅拌完之后，你一定会在咖啡中找到一个在搅拌前后位置相同的点（尽管这个点在搅拌过程中可能去过其他地方）。

▼

无法抚平的毛球

3.你永远不可能拉直椰子上的毛。

想象一个球体表面长满毛发，你能把所有毛发梳平而不留下鸡冠般的毛簇或头发般的旋涡吗？拓扑学告诉你这是不可能的。这被称为毛球定理，也是由布劳威尔首次证明的。用数学术语来说，这意味着球体表面不可能存在连续的单位矢量场。这个定理可以扩展到高维空间：对于任何偶数维球体，都不存在连续的单位矢量场。

毛球定理在气象学中有一个有趣的应用：由于风速和风向在地球表面是连续的，根据毛球定理，地球上总有一个风速为0的地方，这意味着气旋和风暴眼是不可避免的。

▼

另一边的气候完全一样

4、任何时刻，地球上总有两点对称，其温度和大气压完全相同。

波兰数学家瓦夫·乌拉姆（ław Ulam）曾猜想：给定任意一个从n维球面到n维空间的连续函数火腿三明治定理，我们总能在球面上找到两个关于球心对称的点，它们的函数值相同。1933年，波兰数学家卡罗尔·博苏克（Karol ）证明了这一猜想，这就是拓扑学中的博苏克-乌拉姆定理（-Ulam）。

博尔苏克-乌拉姆定理的推论有很多，其中之一就是地球上总有两个对称点，它们的温度和大气压值完全相等（假设地球表面不同地方的温差和大气压差是不断变化着的）。这是因为我们可以把所有可能的温度和大气压值组合看作是直角坐标系上的点，因此地球表面各点的温度和大气压变化可以看作是从二维球面到二维平面的函数。由博尔苏克-乌拉姆定理可以推出，一定有两个对称点，它们的函数值相等。

当n=1时，-Ulam定理可以表述如下：在任意给定时刻，地球赤道上总有两点温度相同。对于这个弱化版的推论，我们有一个很直观的证明方法：假设赤道上有A、B两个人，站在关于球心对称的位置。如果此时他们所在位置的温度相同，则问题好解决。现在我们只需要考虑他们所在位置温度有高有低的情况。我们假设A所在位置的温度为10度，B所在位置的温度为20度。现在，让两人以相同的速度、相同的方向沿着赤道旅行，保持他们对称的位置。假设在这个过程中，各个位置的温度保持不变。在旅途中，两人不断报告自己当地的温度。 当两人都绕赤道半圈后，A到达了B的原来位置，B也到达了A的初始位置。在整个旅程中，A报告的温度从10开始不断变化（可能上下波动甚至超出10到20的范围），最后变成了20；而B所经历的温度则从20开始，最后不断变化为10。因此，他们报告的温度值必定在中间的某一时刻“相交”，于是我们找到了赤道上两个温度相等的对称点。

▼

饼干火腿三明治

4. 对于任何火腿三明治，总有一把刀可以将其切开，将火腿、奶酪和面包片分成两等份。

更有意思的是，这个定理的名字实际上叫做“火腿三明治定理”，是由数学家亚瑟·斯通和约翰·图基在1942年证明的，在测度论中具有非常重要的意义。

火腿三明治定理可以推广到 n 维的情况：如果 n 维空间中有 n 个物体，那么总有一个 n-1 维超平面能把每个物体分成两个相等的“体积”。这些物体可以是任意形状，可以是不连续的（比如面包片），甚至可以是一些形状奇怪的点集，只要这些点集是可测的。

关注高中家长微信订阅号：了解更多教育等资讯，及时掌握高考政策，帮孩子解惑每一步。高中家长红包群：。大红包等你来拿！