要回答这个问题，首先要知道行列式的值代表n维平行体的体积（二维是面积），然后，必须了解上三角/下三角行列式的几何意义作为以下三角行列式的示例，让

D_{} =[ left|begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0\ 1 & 2 & 0\ 2 & 3 & 1 end{array}right| ]

这是什么意思？ 如果将列视为向量，将右下角的 1 视为一阶行列式，则

D_{1} =左| 1 右|

这意味着图像是一维的并且只有长度，其等于1。

如果你取右下角

D_{2} =[ left|begin{array}{cccc} 2 & 0\ 3 & 1 end{array}right| ]

那么D_{2}表示向量a_{2} = (3,2)和a_{1} = (1,0)形成的平行四边形的面积。 这里，受试者画了一张图，发现由于a_{1}的y轴分量等于0，这个图形是一个以1为底、2为高的平行四边形。 这个图的面积和3没有毛细关系。

好吧，我们回顾一下原来的行列式

D_{} =[ left|begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0\ 1 & 2 & 0\ 2 & 3 & 1 end{array}right| ]

不用说，提问者也想出来了，加上了一个包含第三维的向量a_{3} =(2,1,3)。 然而，由于 D_{2} 在这个维度上没有分量，所以图形实际上用 D_{2} 形成的平行四边形为底，3 为具有高度的平行立方体。 同样array是什么意思，这个数字的体积与a_{3}下面的1和2无关。 。

这时候你就会明白了，书中

引理：一个n阶行列式，如果第i行中除了left( i,j right)元素a_{ij}之外的所有元素都为零array是什么意思，则该行列式等于a_{ij}及其代数余因子公式的乘积。

这岂不是说，由于其他向量在第一行的这个维度上没有分量，所以行列式的“体积”就等于这个维度的“高度”乘以代数余因子形成的“面积”。

但有极少数情况，某一行中除了一个元素外，所有元素都为0，所以就有了“按行（列）行列式展开”，实际上就是“即使该行中各列向量的维度展开的都是你有分量的话，我会把你拆散，一一击败，然后加在一起。” 。

肯定有很多不严谨的地方，但希望题主能明白其中的意思~

----------------------------我是无耻的分割线-------------- -- ------------

竖起大拇指然后走开！ ~(*≧▽≦*)ﾉﾞ

----------------------------------2017年6月3日------------------------ ---------------------

谢谢大家~我会再添加几个网页以供视觉参考。

和（通过某个答案）

数学（通过特定答案）