一、代数几何研究领域

代数几何的研究对象大致是一个或多个变量(代数簇)的多项式的公共零点。但由于多项式在数学中如此普遍，代数几何始终站在许多不同领域的十字路口。代数几何中的经典问题涉及特定方程组或直线和线性空间几何的研究。

哥伦比亚大学代数几何研究小组有着悠久的传统。目前，该系是代数几何研究的活跃中心，以几何为重点。许多感兴趣的领域包括曲线、曲面、三重和向量丛;几何不变量理论;复曲面几何;奇点;特征p中的代数几何和算术代数几何;代数几何和拓扑、数学物理、可积系统和微分几何之间的联系等。

二、几何与分析研究领域

几何和分析在哥伦比亚大学尤为活跃。这些都是广阔的领域，世界各地领先的数学系都以不同的方式反映了无数的方面。在哥伦比亚大学，它们紧密地交织在一起，以偏微分方程为共同的统一线索，以几个复杂变量、代数几何、拓扑、理论物理、概率和应用数学的基本问题为指导目标。

三、数学物理研究领域

基本物理定律的表述始终与最深奥的数学紧密交织在一起。这在今天更加明显，几何学为广义相对论、规范理论、弦理论和统计物理模型奠定了基础。反过来，这些物理学领域的发展也有助于推动数学各个领域的进步，例如黎曼表面理论、量子几何、纽结理论、镜像对称、表示论、非线性偏微分方程和微分几何。数学和物理学之间的交叉融合也许从未如此丰富。

四、数论研究领域

数论是数学最古老的分支之一，主要研究数字的一般性质。在过去的几十年里，数论研究在许多方面都取得了快速进展。最近，解析、几何和 p-adic 方法产生了重要的新结果。这些进步已被用来带来突破，解决长期存在的问题，并提出新的鼓舞人心的问题。

概率与金融数学研究领域

自从 Bachelier 于 1900 年开创了布朗运动的数学研究并理解其作为金融市场分析工具的重要性以来，概率一直是金融研究的核心(比爱因斯坦发展布朗运动的物理理论早了五年)。随着马科维茨、夏普、米勒以及默顿和斯科尔斯获得诺贝尔经济学奖，金融理论引起了全世界的关注，它试图理解金融市场如何运作，如何提高金融市场的效率，以及金融市场应该如何运作。

拓扑结构研究领域

拓扑学关注空间形状的内在属性。n维流形是一类在数学中发挥核心作用且其拓扑结构得到广泛研究的空间。这些空间局部看起来像欧几里得 n 维空间。