三角形“四心”向量方式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容以后，中学生们通过课堂例题以及课后习题相继接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量方式的充要条件。现归纳总结如下：的重心，则nOA是内心引进单位向量，使条件显得更简练。假如记CAAB的单位向量为的内心;向量所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点点的轨迹一定通过ABC解析：由于ABAB是向量重心的定义及性质，由矩形的基本性质知AP平分BAC，这么在ABC中，AP平分BAC点评：这道题给人的印象其实是“新颖、陌生”，首先ABAB是哪些？没见过！想想，一个非零向量乘以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加加法、向量的基本定律、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若非常熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定律”H是ABC所在平面内任一点，点H是ABC的垂心.HA同理是ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.(广东)P是ABC所在平面上一点，若．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由,同理所以P点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”为ABC所在平面内一点，且是ABC的垂心证明:同理是ABC的垂心(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定律”是ABC所在平面内一点，证明画图如右，图中联结BE和CE，则CE=GB，BE=为平行四边形D是BC点，AD为BC边上的中线.代入是ABC的重心.（反之亦然（证略））是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心证明是ABC的重心．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两旁构作平行四边形，则，同理可证其它两侧上的这个性质网校头条，所以是重心，选D。

点评：本题须要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线相互平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为。本题在解题的过程上将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线相互平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。变式：已知D分别为ABC的边变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为点评：（1）证法运用了向量乘法的三角形法则重心的定义及性质，证法2运用了向量乘法的平行四边形法则．（2）重合，则上式变内一点，．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由向量模的定义知O点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量OP满足条件证明由已知OP，两侧平方得是正三角形.反之，若点O是正三角形P是ABC所在平面内一点，的中心.例9．在ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，构建如图所示的直角座标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：