发明数学，创造数学

像数学家一样思考 数学精彩观念的诞生

数学可以越学越容易吗？南明数学告诉你：当然可以！

教学目标：

A类目标：学生独立完成挑战单，能探索、发现2和5的倍数特点。

B类目标：通过课堂对话达成共识：

（1）探索出3的倍数的特征；

（2）能判断一个数是否为2，3，5的倍数；

C类目标：在探索2，3，5倍数特征的过程中，体会观察、分析、归纳或猜测验证等探索方法，发展探究问题和解决问题的能力。

第一板块：自我挑战，遭遇问题。

课前挑战：

１．在100以内的自然数中，哪些数是偶数？它们具备什么样的共同特征？或者说，任意给你一个自然数，你能否“一眼就看出”它是否是偶数？

２．在100以内的自然数中，哪些数能够被5整除？它们具备什么样的共同特征？或者说，任意给你一个自然数，你能否“一眼就看出”它是否能被5整除？

３．在100以内的自然数中，哪些数能够被3整除？它们具备什么样的共同特征？或者说，任意给你一个自然数，你能否准确判断它是否能被3整除？

４．两个偶数相加，或相减，或相乘，或相除，结果仍然是偶数吗？为什么？

５．两个奇数相加，或相减，或相乘，或相除，结果是奇数还是偶数呢？为什么？

６．请提出你感兴趣的新问题。

分析：

从学生的挑战单反馈来看，学生能探索、发现2和5的倍数特点，但对于3的倍数特点，多数学生遭遇了问题（得出的结论经不起验证），需要课上交流，（举反例）验证，引导学生探索发现3的倍数特征，进而应用发现的特征，快速判断一个数是否为2，3，5的倍数。

第二板块：聚焦问题，展开对话。

（教师出示课前挑战单）

师：这是某位同学发现的“偶数的特征”，你认同他的观点吗？

生1：认同，我也发现了，只要个位上是2，4，6，8，0的数就是2的倍数。

师：普遍适用吗？有没有特例？

生2：普遍适用，他虽然没有列举100以内所有的偶数，但22，32，42，52，62，72，82，92都是2的倍数（都能被2整除），所以几十二，几十四，几十六，几十八，几十都一定是2的倍数。

生3：对，没有特例，我还专门列竖式算了一下，这些都能被2整除。不仅仅是100以内的偶数有这样的特点，100以外的偶数也具备这样的特点。

师：是不是所有的偶数都具备这样的特点？我们都来举个例子验证一下……

生4：我举个例子“518”的个位上是8，一定是偶数，可以这样验证：用518除以2，能被2整除（商是259），结论成立。

生5：我也来举个例子，“979”的个位（不是2，4，6，8，0中的数字）是9，一定不是偶数，可以这样验证：用979除以2，不能被2整除（商是489余1）结论979是奇数。

生6：我反复验证过，你任意给出一个自然数，我只需要看一眼（个位是不是0，2，4，6，8),就可以马上判断它是不是偶数。

（达成共识：个位上是2，4，6，8，0的自然数都是2的倍数）

师：2的倍数有这样的特点，5的倍数呢？

生7：5的倍数个位上不是5就是0。

（随即出示他的挑战单）

师：都认同他的发现吗？有没有特例？

生8：认同，这个规律普遍适用！只要个位上是0或5的自然数都是5的倍数（都能被5整除）。

生9：同意，我还发现2的倍数和5的倍数个位上都出现了“0”，是不是只要“个位上是0的数”都是2和5的倍数（都能被2和5整除）。

师：这个发现很了不起，大家一起帮忙验证一下!

生10：还真是这样，10，20，30，40，50，60，70，80，90，100都既是2的倍数又是5的倍数。110，1100，11000……也都是2和5的倍数！任意一个自然数只要个位上是0，一定既是2的倍数又是5的倍数！

生11：那当然了，2×5=10，个位上是0的数，一定是10的倍数，当然也一定是2和5的倍数了。

师：有道理！2和5的倍数特点我们都已经找到了，3的倍数有什么特点？

生12：个位上是0，3，6，9的数都是3的倍数。

（随即出示他的挑战单）

师：大家认同吗？

生13：不认同，这个规律不能普遍适用！我举几个特例：10，13，16，19（个位上是0，3，6，9）都不能被3整除。

生14：是呀，3的倍数个位上0~9十个数字都出现过，30，21，12，33，24，15，36，27，18，39，从个位上的数字来看，一切皆有可能，就没有特征！

生15：就是，从个位就找不出3的倍数的特征！十位上也没啥规律，十几，二十几，三十几，四十几，五十几……也都是一切数字皆有可能，也发现不了什么特点！

师：看来3的倍数特点没那么容易找出来，个位上的数字没什么规律，十位上的数字也没什么规律，个位上的数字与十位上的数字有没有什么关系？

生16：我试试看“12，15，18，21，24，33，39”好像个位上数字与十位数字有倍数关系，但“27，45，54，57”个位上数字与十位数字又没有倍数关系，所以结论是个位上数字与十位数字没啥特定的倍数关系。

（学生纷纷表示认同）

生17：没有倍数关系，会不会有“和差的关系”，我试试：“12”（2＋1=3）个位与十位上的数字之和是3，“15”（1＋5=6）个位与十位上的数字之和是6，“18”（1＋8=9）个位与十位上的数字之和是9……我发现了，只要个位和十位上的数字之和是3，6，9的数就是3的倍数！

生18：是呀，你看“21，24，27”这些数个位与十位上的数字加起来也是3，6，9！

师：好像是这么回事，普遍适用吗？有没有特例？

生19：有特例“39”个位与十位上的数字之和是12，（就不是3，6，9）它也是3的倍数。还有“57”什么叫奇数，个位与十位上的数字之和也是12……

生18：那就把我们发现的规律再修改一下“只要个位和十位上的数字之和是3，6什么叫奇数，9，12的数就是3的倍数”。

生19：那“99”呢？个位与十位上的数字之和是18，但也是3的倍数！

生20（举手）：大家发现没有“3，6，9，12，18”都是3的倍数，也就是说只要个位和十位上的数字之和是3的倍数，这些自然数就是3的倍数。

生19：我来验证一下，“69”个位和十位上的数字之和是15，是3的倍数，69也能被3整除，结论应该可以成立。

师：还能不能找出特例？

生：没有特例了！只要个位和十位上的数字之和是3的倍数，这个自然数就是3的倍数。

师：拓展到100以外的自然数，我们的这个发现，还普遍适用吗？

生20：应该可以，比如“123”按照我们刚才的发现，把它百位、十位、个位上的数字加起来是6，是3的倍数，用123除以3来验证，商是41（能整除），结论成立。

（同桌相互举例，判断，验证。）

师：既然我们发现的这个特点（只要个位和十位上的数字之和是3的倍数，这个自然数就是3的倍数。）可以延伸到100以外的任意自然数，这个特点还可以怎样修改，完善？

生21：各个数位的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

第三板块：基于共识，拓展延伸。

师：我出几个自然数“123，234，345，456，567”，大家来判断它们是不是3的倍数。

生22：它们都是3的倍数，它们各个数位上的数字之和分别是6，9，12，15，18，都是3的倍数，所以一定是3的倍数。

生22：对，都是3的倍数。我还发现它们数位上的数字都是三个连续的自然数。

师：是不是3个连续自然数组成的数一定是3的倍数？

生23：是的，我试了好多个数，都符合这个特征，找不出特例！

生22：是呀，为什么呢？

师：连续自然数有啥关系？

生22：相邻的自然数一个比一个多1。

师：如果用n表示中间的自然数，前一个自然数该怎么表示？（n－1）后一个自然数该怎么表示？（n＋1）……

生23：我明白了！把三个连续自然数加起来，（n－1）＋n＋（n＋1）不就等于3n吗？3n一定是3的倍数！

生24：对呀！三个连续自然数的数字之和，不就是中间那个数字的3倍吗！

师：是的，所以3个连续自然数组成的数一定是3的倍数。

（出示挑战单）

师：你认同这位同学得出的结论吗？为什么？

生25：认同，我也发现两个偶数相加，或相减，或相乘都是偶数，两个偶数相除，商可能是奇数也可能是偶数。我是试数试出来的，我能列举的数字都符合这样的规律，找不出特例。

师：大家能找出特例吗？

生26：举不出特例！至于为什么，是不是可以这样理解，n为任意自然数，偶数可以用”2n”来表示，两个不同的偶数，就表示“n”的取值不同，用A和B来区分，2×A表示一个偶数，2×B表示第二个偶数，把两个偶数加起来2×A＋2×B……

生27：对，再应用用乘法分配律把2×A＋2×B可以转换成2×（A＋B），也就是说“（A＋B）”无论和是多少，乘2一定是2的倍数！

生26：就是这样，这样的话两个偶数加起来一定还是偶数！同样的道理，两个偶数相减，就是2×（A－B），“（A－B）”无论差是多少，乘2一定还是偶数！偶数乘偶数就是2×A×2×B，积一定是偶数！至于偶数除以偶数，用（2×A）÷（2×B）就是A÷B，商就有可能是奇数，有可能是偶数。

师：能结合代数式来验证结论，你们已经很不简单了！两个奇数相加或相减，或相乘，或相除，结果是奇数还是偶数呢？

师：你认同这个同学的结论吗？

生28：我认同他的结论，我也列举了好多例子比如“1＋3=4，3＋5=8，5＋7=12……”发现奇数＋奇数=偶数；“13－3=10，15－7=8，19－5=14……”奇数－奇数=偶数；“3×5=15，5×7=35，7×9=63……”奇数×奇数=奇数；“27÷3=9，21÷7=3，99÷9=11……”奇数÷奇数=奇数。

生29：认同，找不出特例！这个结论能不能也用代数式来验证？

师：如果大家感兴趣，可以试一试，课下继续探究，以小论文、报告的形式与我们一起分享。不仅仅这个问题，还有下面这位同学提出的问题，“一个偶数和一个奇数相加，相减，相乘，相除，结果是奇数还是偶数呢？”期待你们的解答！