这是一个有趣的问题。在8年前，当我还是个初三的孩子时，我曾经探索过这个问题。（链接如下：

有关“十全十美”的研究

，我的ID “仙灵魂”，当时还是吧主）

当时用文曲星的 计算到n=14，因为文曲星性能问题没有继续算下去。

在这里贴一下当时（2006年）的一些结论。

（1）显然，点灯游戏的解，和点下方格的次序无关，仅和点下方格的位置有关。

（2）在一个方格下累计点下两次，和没有点下过的效果是一样的。所以最优解必然只是在某些格子下点下过一次。

（3）当第1行被点下的格子确定时，若存在方案，则方案唯一。

这是因为一个格子（坐标[a,b]）的灯是否点亮只和其初始状态以及以下五个点：

[a-1,b][a,b-1][a,b][a,b+1][a+1,b]是否被点下有关，其中只有[a+1,b]是位于第a+1行，其它均在第a行之前。

举例说明：如下图所示

5×5的方格，假设紫色格一开始是暗的，我的目标是把它点亮，而前两行点下的位置已经确定（如图中的1），那么由于紫色格的状态只与自身以及周围4个被按下次数有关（总和应是奇数），而绿格和紫格累计被按下2次，所以在第3行，红色格必须被按下。

所以，当我固定了第一行的点灯位置（共

种状态，考虑对称性的话能去掉接近一半的状态），那么，剩下的步骤是确定的，点完第n行可以让第n-1行的灯全亮，所以，我可以确保除最后一行外，所有位置的灯都能点亮，而最后一行是否恰好都被点亮，要看天意。但是暴力求解并不麻烦。

（4）因为题主说初始亮灯位置随机，所以没有确定的解，甚至是否一定有解也不能确定（这点待证明）心有千千结游戏规则，只能按照（3）的方法一一尝试。但是如果初始状态是全部灯暗，是有确定方案的。

如，5×5共有4个解，如果考虑对称性和旋转性，此解是唯一的。

下面是5×5的方案，可以看到，它在斜对角线有一条对称轴：

（5）这个问题其实很棘手。即使用计算机算心有千千结游戏规则，在我目前的算法下，复杂度达到了

，随着n的增大，复杂度指数增长，所以能算得的n也并不是太大，一般微机在一天之内能算到n=33大约就已经是极限了。当然算法可能还有改进空间。

（6）由于这个问题确实很有趣（很美~），八年后的今天，我又重启了对这个问题的探索。

具体结果请移步

点灯游戏：迟到8年的美丽，用数学绘制的“二维码”！ - 看！你身边有一只数学！ - 知乎专栏

鞠躬~