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广东省东莞市电珠实验学校2022-2023学年高中下学期数学成绩调查问题

1、选择题（本大题共8题，总分40.0分，在每题列出的选项中选择符合该题的选项）

1． （2023年东莞市中考）直线的倾斜角是（）

A. B．光盘。

【答案】C

【知识点】直线的倾角；直线的斜率

【分析】【解答】解：∵

∴

∴

还有∵

∴

故选：C

【分析】将直线的一般公式改写为斜率-截距公式，然后利用斜率公式求得结果。

2.（2018·国Ⅱ卷理论）双曲线（a>0，b>0）的偏心率为，则其渐近线方程为（）

A. B．光盘。

【答案】A

[知识点] 双曲线的简单性质

【分析】【答案】∵e= = ,

∴3= =2

∴

∴渐近线方程为： y=

所以答案是：A

【分析】由偏心率可得，进而求得，可得渐近线方程。

3． （2023年东莞市中考）已知，则（）

A. B．光盘。

【答案】B

【知识点】同角三角函数基本关系的应用；使用归纳公式来简化和评估

【分析】【解答】解：∵ ,

∴

但

故选：B.

【分析】从归纳公式和全等角关系可以化简为：

4.（2023年中考·东莞）该点到直线的距离最大时，m的值为（）

A. B． 0℃。 -1 D.1

【答案】C

[知识点] 平面上一点到直线的距离公式

【分析】【解答】解：一条直线经过不动点Q(2,1)，

因此，当该点到直线的距离最大时，PQ垂直于直线，

现在，

解为m=-1，

故选：C.

【分析】由于直线经过固定点Q(2,1)，当PQ垂直于直线时，该点到直线的距离最大，因此可以通过方程组得到答案。

5.（2016年高一·五邑期中）假设F是抛物线C的焦点：y2=3x。过F且倾斜角为30°的直线与C相交于A、B两点，则|AB|= ()

A. B． 6C． 12D． 7

【答案】C

[知识点] 抛物线的简单性质

【分析】【解答】解：由y2=3x求得焦点F(,0)，则准线方程为x=-。

那么通过抛物线 y2=3x 的焦点 F、倾角为 30° 的直线方程为 y=tan30° (x_ ) = (x_ )。

代入抛物线方程并消去y，可得16x2-168x+9=0。

设 A (x1, y1), B (x2, y2)

那么x1+x2= ,

所以 |AB|=x1+ +x2+ = + + =12

故选：C

【分析】求焦点坐标，利用点斜率公式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，利用弦长公式求|AB|。

6.（2023年东莞市中考）过一点与向量平行的直线方程为（）

A. B．

光盘。

【答案】A

【知识点】直线的点-斜率方程；直线的方向向量

【分析】【解答】解答：根据题意可知，直线的斜率为，

所以直线方程为：

因此选择：A.

【分析】利用点斜率公式求直线方程。

7.（2023年东莞市中考）函数的单调递增区间为

A. B．光盘。

【答案】D

【知识点】复合函数的单调性

【分析】【解答】解：由x2-2x-8>0可得：x∈(∞, 2)∪(4,+∞)，

设 t=x2-2x-8，则 y=lnt，

当∵x∈(∞, 2)时，t=x2-2x-8是递减函数；

当x∈(4,+∞)时，t=x2-2x-8为增函数；

y=lnt 是一个增函数，

因此，函数 f(x)=ln(x2-2x-8) 的单调递增区间为 (4, +∞)，

故选D。

【分析】首先求函数的定义域，然后根据二次函数和对数函数的性质，结合复函数同增异减的性质来求答案。

8． （2023中考·东莞）已知， 是双曲线的左右焦点，P是右枝上的任意点，若最小值为8a，则双曲线的偏心率e的范围双曲线是 ( )

A. B．光盘。

【答案】B

【知识点】基本不等式在最优值问题中的应用；双曲线的简单性质

【分析】【解答】解决方法： 。

当且仅当|PF2|=2a，上式的等号成立，则|PF1|=4a。

又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即4a+2a≥2c，

所以，

故选B。

【分析】化简，结合基本不等式得到|PF1|=4a、|PF2|=2a，再结合双曲线的性质得到不等式4a+2a≥2c，并计算e的范围。

2、选择题（本大题有4个分题，共20.0分，每个分题中有多个项目符合出题要求）

9.（2023年中考·东莞）已知递减算术数列前n项之和为，则（）

A. B．光盘。最大限度

【答案】A、C、D

【知识点】等差数列前n项之和；算术数列和线性函数之间的关系；算术数列的性质

【分析】【解答】解：由 ，可得， ，

算术数列 {an} 是递减数列，

所以a8又错了，所以B也错了；

，所以 C 是正确的；

算术数列{an}是递减数列，a8，所以当1≤n≤7时，an>0

当n≥8时，an选择：ACD

【分析】可知等差数列{an}是递减数列，故a80，当n≥8时，an10。 （2023中考·东莞）已知四面体ABCD，各边长均为2，点E、F分别为边AB、CD的中点，则下列结论正确的是（）

A. B．

光盘。

【答案】B、D

【知识点】平面向量的数值乘积运算；利用数值积来确定平面向量的垂直关系；平面外直线的确定

【分析】【解答】解：根据题，四面体A-BCD是正四面体，如图所示。

A：因为AF∩平面ABC=A，CE平面ABC，并且，平面ABC，从面外直线的定义可知，AF、CE都是面外直线，所以A是错误的；

B：因为，因此，B 是正确的；

C：由于F是边CD的中点，所以C是错误的；

D：因为E和F分别是边AB和CD的中点，所以D是正确的。

所以我选择：BD。

【分析】A是通过面外直线与向量平行的定义来判断的，BC是通过空间向量的量积运算来判断的，D是通过空间向量的线性运算来判断的。

11.（2023年东莞市中考）过P(4,-2)点的抛物线标准方程为()

A. B．光盘。

【答案】A、C

[知识点] 抛物线的标准方程

【分析】【解答】解：如果抛物线的焦点在x轴上，则设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，又因为抛物线经过点P(4,-2 ),

所以(-2)2=2p×4，解为p=，所以抛物线方程为y2=x。

如果抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2=2py(p>0)，又因为抛物线经过点P(4,-2)，

所以42=2p×(-2)，解为p=-4，所以抛物线方程为x2=-8y。

因此，我选择：AC。

【解析】根据题意，抛物线的焦点在x轴上，抛物线的方程为y2=2px(p>0)，抛物线的焦点在y轴上轴，抛物线方程为x2=2py(p>0)，分别代入P点坐标，计算可用选项。

12.（2023年中考·东莞）已知数列的通式为： 若该数列是递减数列，则实数的值为（）

A.4B。 5C。 6 D.7

【答案】A、B

【知识点】序列的功能特点

【分析】【解答】解答：根据题意，，则，

所以 an+1-an=-2(2n+1)+λ 为 λ，故 λ0, b>0) 的偏心率为，则其渐近线方程为 ()

A. B．光盘。

3． （2023年东莞市中考）已知，则（）

A. B．光盘。

4.（2023年中考·东莞）该点到直线的距离最大时，m的值为（）

A. B． 0 c． -1 D． 1

5.（2016年高一·五邑期中）假设F是抛物线C的焦点：y2=3x。过F且倾斜角为30°的直线与C相交于A、B两点，则|AB|= ()

A. B． 6C. 12 D.7

6.（2023年东莞市中考）过一点与向量平行的直线方程为（）

A. B．

光盘。

7.（2023年东莞市中考）函数的单调递增区间为

A. B．光盘。

8． (2023中考·东莞)已知 , 为双曲线的左右焦点，P为右枝上的任意点，若最小值为8a，则双曲线的偏心率e的范围双曲线是 ( )

A. B．光盘。

2、选择题（本大题有4个分题，共20.0分，每个分题中有多个项目符合出题要求）

9.（2023年中考·东莞）已知递减算术数列前n项之和为，则（）

A. B．光盘。最大限度

10． （2023中考·东莞）已知四面体ABCD，各边长均为2，点E、F分别为边AB、CD的中点，则下列结论正确的是（）

A. B．

光盘。

11.（2023年东莞市中考）过P(4,-2)点的抛物线标准方程为()

A. B．光盘。

12.（2023年中考·东莞）已知数列的通式为： 若该数列是递减数列，则实数的值为（）

A．4B． 5C。 6D。 7

3.填空题（本题共有4道小题，共20.0分）

13.（2019·浙江模拟）已知圆上任意点：（为正实数）相对于直线：的对称点都在圆上，则 的最小值为 。

14.（2020年高中·黑龙江月考）对于等差数列，前项 和 分别为 。如果它们对于任何正整数都存在，则 的值为 。

15． （2023年中考·东莞） 椭圆相对于直线对称点Q的右焦点在椭圆上，则椭圆的偏心率为。

16.（2023年中考·东莞）如图所示，抛物线上的点与x轴上的点构成一个等边三角形，,...,...其中该点在抛物线，点所在位置为，序列通项的猜测公式为。

4.回答问题（本大题共有6道小题，总分70.0分。答案需写出书面说明，证明过程或计算步骤）

17． (2023中考·东莞)有三个顶点,,,,D为BC的中点，求：

(1) BC边高所在直线方程；

(2) B边中线AD所在直线方程。

18.（2020年高一·洛阳期末）在三棱柱中，平面 是 的中点， 是一个边长为1的等边三角形。

(1) 证明： ；

(2) 如果是，求二面角的大小。

19． （2023年高中二年级·东莞中考）已知序列{an}前n项之和为，

(1)求序列{an}的通式；

(2) 设，为数列前n项之和，求数列前n项之和。

20.（2023年中考·东莞）已知圆与圆：关于直线的对称性。

(1)求圆的方程和圆的公弦长；

(2) 设过该点的直线l与圆相交于M、N两点，O为坐标原点。求此时直线l的最小值及方程。

21。 (2023中考·东莞) 假设数列前n项之和为，若对任意正整数n，有

(1) 假设并验证：该数列是等比数列，并求通式。

(2) 求数列前n项的和。

22。 （2023年中考·东莞）给定一个椭圆石竹学校，称圆心在原点O，以椭圆为半径的圆是椭圆C的“卫星圆”。设椭圆C的偏心率为，点在C上。

(1)求出椭圆C的方程及其“卫星圆”方程；

(2) 点P是椭圆C的“卫星圆”上的移动点，过点P画一条直线，使其与椭圆C只有一个交点，其“卫星圆”交于点M和 N 分别。证明弦长|MN|是一个常数值。

答案解析部分

1． 【答案】C

【知识点】直线的倾角；直线的斜率

【分析】【解答】解：∵

∴

∴

还有∵

∴

故选：C

【分析】将直线的一般公式改写为斜率-截距公式，然后利用斜率公式求得结果。

2.【答案】A

[知识点] 双曲线的简单性质

【分析】【答案】∵e= = ,

∴3= =2

∴

∴渐近线方程为： y=

所以答案是：A

【分析】由偏心率可得，进而求得，可得渐近线方程。

3． 【答案】B

【知识点】同角三角函数基本关系的应用；使用归纳公式来简化和评估

【分析】【解答】解：∵ ,

∴

但

故选：B.

【分析】从归纳公式和全等角关系可以化简为：

4.【答案】C

[知识点] 平面上一点到直线的距离公式

【分析】【解答】解：一条直线经过不动点Q(2,1)，

因此，当该点到直线的距离最大时，PQ垂直于直线，

现在，

解为m=-1，

故选：C.

【分析】由于直线经过固定点Q(2,1)，当PQ垂直于直线时，该点到直线的距离最大，因此可以通过方程组得到答案。

5.【答案】C

[知识点] 抛物线的简单性质

【分析】【解答】解：由y2=3x求得焦点F(,0)，则准线方程为x=-。

那么通过抛物线 y2=3x 的焦点 F、倾角为 30° 的直线方程为 y=tan30° (x_ ) = (x_ )。

代入抛物线方程并消去y，可得16x2-168x+9=0。

设 A (x1, y1), B (x2, y2)

那么x1+x2= ,

所以 |AB|=x1+ +x2+ = + + =12

故选：C

【分析】求焦点坐标，利用点斜率公式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，利用弦长公式求|AB |。

6.【答案】A

【知识点】直线的点-斜率方程；直线的方向向量

【分析】【解答】解答：根据题意可知，直线的斜率为，

所以直线方程为：

因此选择：A.

【分析】利用点斜率公式求直线方程。

7.【答案】D

【知识点】复合函数的单调性

【分析】【解答】解：由x2-2x-8>0可得：x∈(∞, 2)∪(4,+∞)，

设 t=x2-2x-8，则 y=lnt，

当∵x∈(∞, 2)时，t=x2-2x-8为减函数；

当x∈(4,+∞)时，t=x2-2x-8为增函数；

y=lnt 是一个增函数，

因此，函数 f(x)=ln(x2-2x-8) 的单调递增区间为 (4, +∞)，

故选D。

【分析】首先求函数的定义域，然后根据二次函数和对数函数的性质，结合复函数同增异减的性质求出答案。

8． 【答案】B

【知识点】基本不等式在最优值问题中的应用；双曲线的简单性质

【分析】【解答】解决方法： 。

当且仅当|PF2|=2a，上式的等号成立，则|PF1|=4a。

且|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即4a+2a≥2c，

所以，

故选B。

【分析】化简，结合基本不等式得到|PF1|=4a、|PF2|=2a，再结合双曲线的性质得到不等式4a+2a≥2c，并计算e的范围。

9.【答案】A、C、D

【知识点】等差数列前n项之和；算术数列和线性函数之间的关系；算术数列的性质

【分析】【解答】解：由 ，可得石竹学校， ，

算术数列 {an} 是递减数列，

所以a8又错了，所以B也错了；

，所以 C 是正确的；

算术数列{an}是递减数列，a8，所以当1≤n≤7时，an>0

当n≥8时，an选择：ACD

【分析】可知等差数列{an}是递减数列，故a80，当n≥8时，an10。 【答案】B、D

【知识点】平面向量的数值乘积运算；利用数值积来确定平面向量的垂直关系；平面外直线的确定

【分析】【解答】解：根据题，四面体A-BCD是正四面体，如图所示。

A：因为AF∩平面ABC=A，CE平面ABC，平面ABC，从面外直线的定义可知，AF和CE都是面外直线，所以A为错误的;

B：因为，因此，B 是正确的；

C：由于F是边CD的中点，所以C是错误的；

D：因为E和F分别是边AB和CD的中点，所以D是正确的。

所以我选择：BD。

【分析】A是通过面外直线与向量平行的定义来判断的，BC是通过空间向量乘积的运算来判断的，D是通过空间向量的线性运算来判断的。

11.【答案】A、C

[知识点] 抛物线的标准方程

【分析】【解答】解：如果抛物线的焦点在x轴上，则设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，又因为抛物线经过点P(4,-2 ),

所以(-2)2=2p×4，解为p=，所以抛物线方程为y2=x。

如果抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2=2py(p>0)，又因为抛物线经过点P(4,-2)，

所以42=2p×(-2)，解为p=-4留学之路，所以抛物线方程为x2=-8y。

因此，我选择：AC。

【解析】根据题意，抛物线的焦点在x轴上，抛物线的方程为y2=2px(p>0)，抛物线的焦点在y轴上轴，抛物线方程为x2=2py(p>0)，分别代入P点坐标，计算可用选项。

12.【答案】A、B

【知识点】序列的功能特点

【分析】【解答】解答：根据题意，，则，

所以 an+1-an=-2(2n+1)+λ 是 λ 所以 λ